Bombelli e le radici dei numeri negativi

Quando poniamo la condizione di esistenza $a\ge 0$ per $\sqrt{a}$, stiamo dicendo che, tra i numeri reali, la radice quadrata di un numero negativo non esiste. Per gran parte della storia della matematica questo bastava: $\sqrt{-1}$ era considerata un simbolo privo di significato. Il primo a prenderla sul serio, per pura necessità di calcolo, fu Rafael Bombelli (1526–1572).

Il problema nasce dalle equazioni cubiche

La spinta non venne dai radicali in sé, ma dalle equazioni di terzo grado. La formula risolutiva pubblicata da Gerolamo Cardano nell’Ars Magna (1545) — frutto anche del lavoro di Niccolò Tartaglia e di Scipione del Ferro — presentava un fenomeno sconcertante, il cosiddetto casus irreducibilis: certe equazioni con tre soluzioni reali, tutte perfettamente ordinarie, potevano essere ottenute dalla formula solo passando attraverso radici quadrate di numeri negativi.

Un esempio classico è $x^3 = 15x + 4,$ che ha la soluzione evidente $x=4$. Eppure la formula di Cardano dà $x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}}.$ Compare $\sqrt{-121}$: una quantità «impossibile» che pareva condannare la formula.

L’idea audace di Bombelli

Nell’Algebra (1572) Bombelli ebbe l’intuizione di trattare $\sqrt{-1}$ come un nuovo tipo di quantità, con proprie regole di segno che egli chiamò «più di meno» e «meno di meno». Ipotizzò che i due addendi cubici avessero la forma $2\pm\sqrt{-1}$ (cioè $2\pm i$ nel linguaggio odierno) e verificò per calcolo diretto che $(2+\sqrt{-1})^3 = 2 + \sqrt{-121}, \qquad (2-\sqrt{-1})^3 = 2 - \sqrt{-121}.$ Sommando i due termini, le parti immaginarie si elidono e resta esattamente $x = (2+\sqrt{-1}) + (2-\sqrt{-1}) = 4,$ la soluzione reale attesa (Boyer; Katz).

Perché è importante

Bombelli non «credeva» realmente all’esistenza di questi numeri — li chiamava quantità sofistiche — ma dimostrò che, maneggiandoli con regole coerenti, portavano a risultati reali corretti. Fu il primo passo verso i numeri complessi, che solo con Euler e Gauss, due secoli più tardi, avrebbero ottenuto piena cittadinanza. La condizione $a\ge 0$ resta valida per i radicali reali che studi in questo capitolo; la storia di Bombelli mostra però che, ampliando l’insieme numerico, anche l’«impossibile» $\sqrt{-1}$ può diventare uno strumento potente.

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Argomenti: Radicali
Concetti: Condizioni di esistenza · Radicale
Persone: Rafael Bombelli · Gerolamo Cardano · Niccolò Tartaglia