Due numeri con differenza e prodotto assegnati

Testo

Trova due numeri che abbiano differenza $1$ e prodotto $13$ (nota: $a-b$ si può scrivere come $a+(-b)$).

Soluzione

Chiamiamo $a$ e $b$ i due numeri, con $a-b=1$ e $ab=13$. Il trucco suggerito è considerare la coppia $\{a,\,-b\}$: per essa $\text{somma}=a+(-b)=a-b=1,\qquad \text{prodotto}=a\cdot(-b)=-ab=-13.$ Dunque $a$ e $-b$ sono le radici (per le formule di Viète) di $t^2-1\cdot t+(-13)=0 \;\Longrightarrow\; t^2-t-13=0.$ Discriminante: $\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-13)=1+52=53>0,$ quindi $t=\frac{1\pm\sqrt{53}}{2}.$ Numericamente, $\sqrt{53}\approx7{,}280$, da cui $t_1\approx4{,}140$ e $t_2\approx-3{,}140$. Le due radici sono $a$ e $-b$: prendendo $a=t_1\approx4{,}140$ si ha $-b=t_2\approx-3{,}140$, cioè $b\approx3{,}140$. Verifica: differenza $a-b\approx4{,}140-3{,}140=1$; prodotto $a\,b\approx4{,}140\cdot3{,}140\approx13$. ✓ $\boxed{n_1=a\approx4{,}140,\qquad n_2=b\approx3{,}140}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Equazione secondo grado · Formule di vieta · Somma e prodotto delle radici
Competenze: Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione