La frazione continua di pi greco

A differenza di $\sqrt 2$, la frazione continua di $\pi$ non è periodica (perché $\pi$ è trascendente), ma è molto compatta e produce approssimazioni razionali sorprendentemente buone.

Esempio — Frazione continua di $\pi$ e migliori approssimazioni

$\pi$ ha sviluppo non periodico (è trascendente) ma molto compatto: $\pi = 3 + \cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cdots}}}} = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\ldots].$ Tronchiamo a $[3]=3$, $[3;7]=22/7$ (Archimede, nella Misura del cerchio, cfr. Boyer, cap. 5), $[3;7,15]=333/106$, $[3;7,15,1]=355/113$. L’ultima è clamorosa: $355/113 = 3{,}1415929\ldots$ contro $\pi = 3{,}14159265\ldots$ (errore $<3\cdot 10^{-7}$, sette cifre corrette con un denominatore di sole tre cifre). Il salto di precisione è dovuto al "$292$" (un coefficiente molto grande) nella frazione continua: ogni coefficiente grande significa che la convergente precedente è già ottima.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Approssimazione razionale · Convergenti · Frazione continua
Competenze: Stimare
Persone: Archimede