Le equazioni quadratiche babilonesi

Le equazioni di secondo grado sono tra i problemi più antichi della matematica: erano già risolte dagli scribi della Mesopotamia quasi quattromila anni fa, molti secoli prima che esistessero i simboli algebrici. Su tavolette d’argilla di epoca paleo-babilonese (all’incirca il 1800–1600 a.C.), scritte in numerazione sessagesimale, compaiono problemi del tipo: «ho sommato l’area e il lato di un quadrato e ho ottenuto $\tfrac{3}{4}$; quanto vale il lato?». In notazione moderna si tratta dell’equazione $x^2 + x = \tfrac{3}{4}$.

Una ricetta senza formule

Gli scribi non enunciavano una formula generale né usavano lettere: davano una procedura, un elenco di operazioni da eseguire sui numeri del problema, esattamente ciò che oggi chiameremmo un algoritmo. Per l’equazione $x^2 + x = \tfrac{3}{4}$ la ricetta suonava così: prendi la metà di $1$ (il coefficiente del lato), cioè $\tfrac{1}{2}$; elevala al quadrato, ottenendo $\tfrac{1}{4}$; sommala a $\tfrac{3}{4}$, ottenendo $1$; estraine la radice, cioè $1$; infine sottrai la metà di prima, $\tfrac{1}{2}$. Il risultato è $x = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}$.

Se ripercorriamo quei passi con i simboli di oggi vediamo che è esattamente il completamento del quadrato: $x^2 + x = \tfrac{3}{4} \;\Rightarrow\; \left(x + \tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{4} = 1 \;\Rightarrow\; x + \tfrac{1}{2} = 1.$

Molti problemi babilonesi, inoltre, sono posti nella forma «conosco la somma e il prodotto di due numeri, trovali»: un sistema che, sostituendo, si riduce a una quadratica. È lo stesso schema che ritroveremo nei sistemi simmetrici e nelle formule sulla somma e sul prodotto delle radici.

Dai Babilonesi ad al-Khwārizmī

I Babilonesi conoscevano dunque il metodo, ma lo applicavano caso per caso, sempre su numeri concreti e prendendo una sola radice (mai quella negativa, che per loro non avrebbe avuto senso, trattandosi di lunghezze). Il passo verso una teoria generale delle equazioni di secondo grado — con una classificazione dei tipi e una giustificazione geometrica di ciascuna ricetta — arriva molto più tardi, attorno all’anno 820, con l’opera di al-Khwārizmī, il testo fondatore dell’algebra. La formula risolutiva con la radice del discriminante, che oggi impariamo in un colpo solo, è la versione simbolica moderna di una tecnica che l’umanità usava, a piccoli passi, da quasi quattro millenni.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Completamento del quadrato · Equazione secondo grado
Persone: al-Khwārizmī