L’idea che una teoria matematica debba poggiare su pochi postulati accettati senza dimostrazione ha una storia lunga più di duemila anni, e in questi due millenni è cambiato profondamente il significato stesso della parola “postulato”.
Il modello di Euclide
Intorno al 300 a.C. Euclide raccolse nei suoi Elementi tutta la geometria del suo tempo, organizzandola per la prima volta in modo deduttivo: cinque postulati, cinque nozioni comuni e alcune definizioni, e da lì, un teorema dopo l’altro, 465 proposizioni. Per Euclide i postulati erano verità evidenti: affermazioni così ovvie da non aver bisogno di prova, come “per due punti passa una e una sola retta”.
Uno dei cinque, però, non sembrava affatto ovvio: il quinto postulato, quello delle parallele. Nella formulazione equivalente dovuta a Playfair dice che, data una retta e un punto fuori di essa, esiste una sola parallela alla retta passante per quel punto. Per secoli i matematici sospettarono che fosse un teorema nascosto e tentarono di dedurlo dagli altri quattro. Tutti fallirono.
La scoperta delle geometrie non euclidee
Nell’Ottocento si capì perché tutti quei tentativi erano falliti: il quinto postulato è indipendente dagli altri. Negandolo non si arriva a nessuna contraddizione, ma a nuove geometrie perfettamente coerenti. Carl Friedrich Gauss vi arrivò per primo, ma non pubblicò nulla; furono Nikolaj Lobačevskij e, indipendentemente, János Bolyai a dare alle stampe, intorno al 1830, una geometria in cui per un punto passano infinite parallele e la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di .
La conseguenza fu una rivoluzione concettuale: un postulato non è più una “verità” sul mondo, ma una libera assunzione. L’unico requisito che le si chiede non è di essere vera, ma di essere coerente (non generare contraddizioni).
I Grundlagen di Hilbert
Guardata con questo occhio più critico, anche l’opera di Euclide mostrava delle crepe: in diverse dimostrazioni egli usava, senza dichiararli, fatti “letti dalla figura” — per esempio che un punto stia fra altri due, o che due cerchi si intersechino. Nel 1882 Moritz Pasch fu il primo a rendere esplicite queste ipotesi d’ordine (l‘“assioma di Pasch” sui triangoli).
Il coronamento arrivò nel 1899 con i Grundlagen der Geometrie (“Fondamenti della geometria”) di David Hilbert. Hilbert riorganizzò tutta la geometria elementare in cinque gruppi di assiomi — di incidenza, di ordine, di congruenza, delle parallele e di continuità — colmando ogni lacuna di Euclide. La sua idea più radicale riguarda i termini primitivi: punto, retta e piano non vengono più definiti né disegnati, ma prendono senso solo da ciò che gli assiomi dicono di loro. Hilbert lo espresse con una battuta rimasta celebre: si deve poter dire, in ogni momento, “invece di punti, rette e piani: tavoli, sedie e boccali di birra”. Ciò che conta non è cosa siano quegli oggetti, ma quali relazioni soddisfino.
Nasce così il metodo assiomatico moderno: gli assiomi non descrivono verità evidenti, ma definiscono implicitamente gli oggetti di cui parlano, e si giudicano in base a coerenza, indipendenza e completezza. È lo stesso metodo con cui, ancora oggi, si fonda ogni teoria matematica (Boyer; Kline; Katz).
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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Postulato · Teoria
Persone: David Hilbert · Euclide · Carl Friedrich Gauss · János Bolyai · Moritz Pasch · Nikolaj Lobačevskij