Somma dei primi n quadrati

Esempio — Somma dei primi $n$ quadrati

$P(n)\colon\quad 1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$ Base: $n=1$: $1=\dfrac{1\cdot 2\cdot 3}{6}$. Vero.

Passo: assumiamo $P(k)$ e sommiamo $(k+1)^2$: $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2 = \frac{(k+1)\bigl[k(2k+1)+6(k+1)\bigr]}{6} = \frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6},$ che è $P(k+1)$. ∎

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Principio di induzione
Metodi: Induzione
Competenze: Dimostrare