L’eliminazione che oggi chiamiamo “di Gauss” ha un antenato sorprendentemente antico. Il trattato cinese Jiuzhang Suanshu, i Nove Capitoli sull’arte matematica (composto tra il II secolo a.C. e il I secolo d.C.), dedica l’ottavo capitolo, intitolato proprio fangcheng, alla risoluzione dei sistemi lineari. È il primo testo noto della storia a trattare sistematicamente questo problema (Katz).
Il metodo funzionava su una tavola da calcolo: i coefficienti e i termini noti di ogni equazione venivano disposti in una colonna di caselle, usando i bastoncini da calcolo (i numerali a bastoncino). Il sistema appariva quindi come una tabella di numeri — di fatto una matrice — e le equazioni erano le sue colonne. Per esempio il sistema
(tratto dallo stesso capitolo VIII) veniva risolto sottraendo ripetutamente multipli di una colonna dalle altre, fino ad annullare tutti i coefficienti sopra o sotto la diagonale: esattamente le operazioni elementari che riducono il sistema a forma triangolare. Da lì il valore delle incognite si ricavava “a ritroso”, con la sostituzione all’indietro.
Due aspetti rendono il fangcheng straordinariamente moderno. Il primo è che, per non introdurre frazioni, gli antichi calcolatori cinesi lavoravano con i numeri interi e accettavano coefficienti negativi, che indicavano con bastoncini di colore diverso (nero per i positivi, rosso per i negativi, o viceversa a seconda dell’epoca): sono tra le prime testimonianze dell’uso dei numeri negativi nel calcolo (Boyer). Il secondo è la disposizione tabulare dei coefficienti, che precorre di quasi due millenni l’idea di matrice.
Nel III secolo d.C. il matematico Liu Hui curò un’edizione commentata dei Nove Capitoli, aggiungendo dimostrazioni e giustificazioni ai procedimenti che il testo originale presentava solo come ricette di calcolo. In Europa la stessa idea sarebbe stata riscoperta e resa algoritmo standard solo con Carl Friedrich Gauss, all’inizio dell’Ottocento (Struik).
Collegamenti
Argomenti: Sistemi lineari
Concetti: Metodo di gauss · Operazioni elementari sulle righe
Persone: Carl Friedrich Gauss · Liu Hui