Il metodo della falsa posizione

Molto prima che si scrivessero equazioni con lettere e segni di uguale, gli antichi Egizi sapevano già risolvere problemi che noi tradurremmo in equazioni di primo grado. La testimonianza più celebre è il papiro di Rhind (o papiro di Ahmes), un rotolo lungo più di cinque metri copiato intorno al 1650 a.C. dallo scriba Ahmes da un originale ancora più antico. È una raccolta di 84 problemi pratici — pane, birra, terreni, mangimi — e in molti di essi compare un’incognita, chiamata aha, cioè “mucchio” o “quantità”.

Un problema del papiro

Il problema 24 del papiro chiede, in sostanza:

Una quantità e la sua settima parte, sommate, danno $19$. Quanto vale la quantità?

Con il nostro simbolismo scriveremmo semplicemente $x + \frac{1}{7}x = 19.$

Gli Egizi non disponevano di questa notazione, e usavano invece il metodo della falsa posizione: si sceglie un valore di comodo per l’incognita, si calcola il risultato che produce e poi lo si corregge con una proporzione.

Come funziona

Conviene scegliere un valore “falso” che renda facili i calcoli: qui $7$, perché la sua settima parte è un numero intero. Sostituendo $x = 7$: $7 + \frac{1}{7}\cdot 7 = 7 + 1 = 8.$

Il tentativo dà $8$, ma noi vogliamo $19$. Poiché l’espressione $x + \tfrac{1}{7}x$ è proporzionale a $x$, basta moltiplicare il valore falso per il fattore di correzione $\dfrac{19}{8}$: $x = 7 \cdot \frac{19}{8} = \frac{133}{8} = 16 + \frac{5}{8}.$

E infatti $16\tfrac{5}{8} + \tfrac{1}{7}\cdot 16\tfrac{5}{8} = 19$: la risposta è esatta. Il metodo funziona perché l’equazione è lineare e omogenea nell’incognita — raddoppiando $x$ raddoppia anche il primo membro — cosicché il rapporto tra risultato voluto e risultato ottenuto è esattamente il rapporto tra la soluzione vera e il valore falso.

Perché ci interessa ancora

La falsa posizione mostra che l’idea di “isolare l’incognita” con i principi di equivalenza non è l’unico modo di ragionare: per secoli, dagli Egizi fino all’algebra medievale, si è risolto per tentativi guidati dalla proporzionalità. Solo con il simbolismo moderno il procedimento è diventato la manipolazione meccanica che oggi conosciamo. Vale la pena notare che il metodo, così com’è, funziona solo per equazioni del tipo $ax = b$: per equazioni con un termine noto additivo (come $ax + c = b$) occorre la variante della doppia falsa posizione, sviluppata più tardi.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni primo grado
Concetti: Equazione · Incognita
Persone: Ahmes