MCD e mcm di polinomi

Con i polinomi si ripete esattamente la stessa storia dei numeri: il ruolo dei fattori primi è preso dai fattori irriducibili del polinomio (i “mattoni” che non si spezzano più, come $(x-1)$, $(x+1)$, $x$, $x^2+1$). Una volta scomposti i polinomi, MCD e mcm si leggono con gli stessi due metodi — insiemi di fattori e tabella.

Proprietà — MCD e mcm di polinomi

Scomposti i polinomi in fattori irriducibili:

• MCD: prodotto dei fattori comuni, ciascuno con l’esponente minore;
• mcm: prodotto di tutti i fattori, ciascuno con l’esponente maggiore.

Il mcm dei denominatori è ciò che serve per sommare o sottrarre frazioni algebriche: è il denominatore comune più piccolo.

Esempio

Scomponiamo tre polinomi: $A = x^2-1 = (x-1)(x+1), \qquad B = x^2+2x+1 = (x+1)^2, \qquad C = x^3-x = x(x-1)(x+1).$

Metodo a tabella — una colonna per ogni fattore irriducibile, in cella l’esponente:

	$x$	$(x-1)$	$(x+1)$
$A$	$0$	$1$	$1$
$B$	$0$	$0$	$2$
$C$	$1$	$1$	$1$
min	$0$	$0$	$1$
max	$1$	$1$	$2$

$\text{MCD}(A,B,C) = (x+1)^{\min} = (x+1), \qquad \text{mcm}(A,B,C) = x\,(x-1)\,(x+1)^2.$

Il solo fattore presente in tutte e tre le righe è $(x+1)$: ecco il MCD. Il mcm raccoglie tutti i fattori con l’esponente massimo.

Metodo degli insiemi di fattori

Lo stesso risultato con il diagramma di Venn, pensando ogni polinomio come l’insieme dei suoi fattori — l’intersezione dà il MCD, l’unione il mcm. Con $A=(x-1)(x+1)$ e $B=(x+1)^2$:

$\text{MCD}(A,B) = (x+1), \qquad \text{mcm}(A,B) = (x-1)(x+1)^2.$

Perché serve: il denominatore comune

Per calcolare $\frac{1}{x^2-1} + \frac{1}{x^2+2x+1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)^2}$ si prende come denominatore comune il mcm $=(x-1)(x+1)^2$: $= \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)^2}.$

Esattamente come con i numeri, dove per $\tfrac{2}{15}-\tfrac{3}{10}$ si usa $\text{mcm}(15,10)=30$.

Collegamenti

Argomenti: Frazioni algebriche
Concetti: Denominatore comune · Massimo comun divisore (MCD) · Minimo comune multiplo (mcm) · Scomposizione di polinomi
Competenze: Scomporre