Scomporre in fattori (sei polinomi)

Testo

Scomponi in fattori: (a) $81a^6-64b^4$; (b) $12c^2d^4-75c^2d^2$; (c) $x^4+6x^2+9$; (d) $a^2+3a+2$; (e) $a^2-13a-14$; (f) $24a^2-54b^2$.

Soluzione

(a) Riconosciamo una differenza di quadrati: $81a^6=(9a^3)^2$ e $64b^4=(8b^2)^2$. $81a^6-64b^4=(9a^3)^2-(8b^2)^2=(9a^3-8b^2)(9a^3+8b^2).$

(b) Raccogliamo il fattore comune $3c^2d^2$: $12c^2d^4-75c^2d^2=3c^2d^2(4d^2-25).$ Ora $4d^2-25=(2d)^2-5^2$ è una differenza di quadrati: $3c^2d^2(4d^2-25)=3c^2d^2(2d-5)(2d+5).$

(c) È un quadrato di binomio: $x^4=(x^2)^2$, $9=3^2$ e $6x^2=2\cdot x^2\cdot 3$. $x^4+6x^2+9=(x^2)^2+2\cdot x^2\cdot 3+3^2=(x^2+3)^2.$

(d) Trinomio caratteristico: cerchiamo due numeri con somma $3$ e prodotto $2$, cioè $1$ e $2$. $a^2+3a+2=(a+1)(a+2).$

(e) Trinomio caratteristico: cerchiamo due numeri con somma $-13$ e prodotto $-14$, cioè $-14$ e $1$. $a^2-13a-14=(a-14)(a+1).$

(f) Raccogliamo $6$: $24a^2-54b^2=6(4a^2-9b^2).$ Ora $4a^2-9b^2=(2a)^2-(3b)^2$ è una differenza di quadrati: $6(4a^2-9b^2)=6(2a-3b)(2a+3b).$

$\boxed{(9a^3-8b^2)(9a^3+8b^2)\ ;\ \ 3c^2d^2(2d-5)(2d+5)\ ;\ \ (x^2+3)^2\ ;\ \ (a+1)(a+2)\ ;\ \ (a-14)(a+1)\ ;\ \ 6(2a-3b)(2a+3b)}$

Collegamenti

Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Prodotti notevoli · Scomposizione in fattori
Competenze: Scomporre
Tipo di esercizio: Scomposizione