Raccoglimento parziale

Quando un polinomio non ha un fattore comune a tutti i termini, possiamo provare a raggruppare i termini a coppie e raccogliere da ciascuna coppia. I diagrammi di Venn a cerchi sovrapposti rendono l’idea molto intuitiva: nella zona di sovrapposizione sta il fattore comune di ogni coppia.

• Che cos’è il raccoglimento parziale
• Raccoglimento parziale con i diagrammi di Venn
• Raccoglimento parziale a quattro termini
• Come inventare un esercizio di raccoglimento
• Scomposizione iterata con raccoglimento e differenza di quadrati

When a polynomial does not have a factor common to all the terms, we can try to group the terms in pairs and collect from each pair. Venn diagrams with overlapping circles make the idea very intuitive: in the overlap region sits the common factor of each pair.

• What partial grouping is
• Partial grouping with Venn diagrams
• Partial grouping with four terms
• How to invent a grouping exercise
• Iterated factorisation with grouping and difference of squares

Quando un polinomio non ha un fattore comune a tutti i termini, possiamo provare a raggruppare i termini a coppie e raccogliere da ciascuna coppia.

Definizione — Raccoglimento parziale

Il raccoglimento parziale si usa quando non tutti i termini di un polinomio hanno un fattore in comune, ma si possono raggruppare a coppie (o gruppi) che condividono un fattore.

Osservazione — Diagramma di Venn per il raccoglimento parziale

L’idea del raccoglimento parziale si visualizza con coppie di cerchi sovrapposti: ogni cerchio contiene i fattori di un termine del polinomio, e la zona di sovrapposizione contiene il fattore comune alla coppia.

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Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Raccoglimento parziale · Scomposizione in fattori
Competenze: Scomporre

When a polynomial does not have a factor common to all the terms, we can try to group the terms in pairs and collect from each pair.

Definition — Partial grouping

Partial grouping is used when not all the terms of a polynomial share a common factor, but they can be grouped in pairs (or groups) that share a factor.

Observation — Venn diagram for partial grouping

The idea of partial grouping is visualised with pairs of overlapping circles: each circle contains the factors of one term of the polynomial, and the overlap region contains the factor common to the pair.

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Topics: Algebraic calculation
Concepts: Partial grouping · Factorisation
Skills: Factorising

Esempio — Scomporre $x^2 - 3x - 2x + 6$ con il metodo dei cerchi

Raggruppo a coppie e rappresento i fattori di ogni termine con cerchi sovrapposti: nella zona comune sta il fattore condiviso dalla coppia.

In ogni coppia la zona di sovrapposizione è il fattore comune; i “resti” fuori dalla sovrapposizione formano il secondo fattore.

I “resti” di ciascuna coppia formano il secondo fattore, quindi: $x^2 - 3x - 2x + 6 = x(x-3) - 2(x-3) = \boxed{(x-3)(x-2)}$

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Competenze: Scomporre

Example — Factorise $x^2 - 3x - 2x + 6$ with the circle method

I group in pairs and represent the factors of each term with overlapping circles: in the common region sits the factor shared by the pair.

In each pair the overlap region is the common factor; the “remainders” outside the overlap form the second factor.

The “remainders” of each pair form the second factor, so: $x^2 - 3x - 2x + 6 = x(x-3) - 2(x-3) = \boxed{(x-3)(x-2)}$

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Esempio — Scomporre $6a^4b + 3a^2c + 2a^2b^2 + bc$

Raggruppo i quattro termini in due coppie e cerco il fattore comune di ciascuna.

In ogni coppia la sovrapposizione contiene il fattore comune ($3a^2$ e $b$); i resti ($2a^2b$ e $c$) formano il binomio comune $(2a^2b+c)$.

Dunque $6a^4b + 3a^2c + 2a^2b^2 + bc = \boxed{(2a^2b+c)(3a^2+b)}$.

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Example — Factorise $6a^4b + 3a^2c + 2a^2b^2 + bc$

I group the four terms into two pairs and look for the common factor of each.

In each pair the overlap contains the common factor ($3a^2$ and $b$); the remainders ($2a^2b$ and $c$) form the common binomial $(2a^2b+c)$.

Therefore $6a^4b + 3a^2c + 2a^2b^2 + bc = \boxed{(2a^2b+c)(3a^2+b)}$.

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Osservazione — Come inventare un esercizio

Per creare un esercizio di raccoglimento parziale, si parte dal risultato: ad esempio $(3a^2+b)(2-4b^2)$, si espande il prodotto, e si mescola l’ordine dei termini. L’espansione, con i termini rimescolati, diventa il testo dell’esercizio.

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Observation — How to invent an exercise

To create a partial grouping exercise, you start from the result: for example $(3a^2+b)(2-4b^2)$, you expand the product, and you shuffle the order of the terms. The expansion, with the terms shuffled, becomes the statement of the exercise.

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Le tecniche si concatenano: dopo un raccoglimento parziale, i fattori ottenuti possono a loro volta essere differenze di quadrati.

Esempio — Scomporre $x^4-4x^2y^2+4y^6-x^2y^4$

Passo 1 — Raccoglimento parziale (diagramma di Venn).

Il raccoglimento parziale mette in evidenza il fattore comune $(x^2-4y^2)$.

Passo 2 — Differenza di quadrati (metodo delle forme). Entrambi i fattori sono differenze di quadrati:

• $x^2-4y^2$: con $\bigcirc=x$ e $\square=2y$ si ha $(x+2y)(x-2y)$.
• $x^2-y^4$: con $\bigcirc=x$ e $\square=y^2$ si ha $(x+y^2)(x-y^2)$.

Risultato finale: $x^4-4x^2y^2+4y^6-x^2y^4 = \boxed{(x+2y)(x-2y)(x+y^2)(x-y^2)}$

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Concetti: Differenza di quadrati · Raccoglimento parziale · Scomposizione in fattori
Competenze: Scomporre

The techniques chain together: after a partial grouping, the factors obtained may in turn be differences of squares.

Example — Factorise $x^4-4x^2y^2+4y^6-x^2y^4$

Step 1 — Partial grouping (Venn diagram).

The partial grouping brings out the common factor $(x^2-4y^2)$.

Step 2 — Difference of squares (method of forms). Both factors are differences of squares:

• $x^2-4y^2$: with $\bigcirc=x$ and $\square=2y$ we get $(x+2y)(x-2y)$.
• $x^2-y^4$: with $\bigcirc=x$ and $\square=y^2$ we get $(x+y^2)(x-y^2)$.

Final result: $x^4-4x^2y^2+4y^6-x^2y^4 = \boxed{(x+2y)(x-2y)(x+y^2)(x-y^2)}$

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