Scomposizione di polinomi in fattori

Scomporre un polinomio in fattori è l’operazione inversa del prodotto: dato un polinomio, lo riscriviamo come prodotto di fattori più semplici. È una delle abilità più importanti di tutta l’algebra e serve per risolvere equazioni, semplificare frazioni algebriche e studiare disequazioni. Qui raccogliamo tutte le tecniche principali, dedicando particolare attenzione al trinomio notevole con il metodo somma e prodotto.

• Che cos’è scomporre in fattori
• Raccoglimento e differenza di quadrati
• Scomposizioni successive
• Due modi di scomporre una differenza di potenze seste
• Polinomi irriducibili
• Il trinomio notevole: metodo somma e prodotto
• Scomporre un trinomio con somma e prodotto
• Trinomio con coefficiente direttore diverso da 1

Factorising a polynomial is the inverse operation of the product: given a polynomial, we rewrite it as a product of simpler factors. It is one of the most important skills in all of algebra and it is needed to solve equations, simplify algebraic fractions and study inequalities. Here we gather all the main techniques, paying particular attention to the special trinomial with the sum and product method.

• What factorising means
• Grouping and difference of squares
• Successive factorisations
• Two ways to factorise a difference of sixth powers
• Irreducible polynomials
• The special trinomial: sum and product method
• Factorising a trinomial with sum and product
• Trinomial with leading coefficient other than 1

Scomporre un polinomio in fattori è l’operazione inversa del prodotto: dato un polinomio, lo riscriviamo come prodotto di fattori più semplici. È una delle abilità più importanti di tutta l’algebra e ci servirà per risolvere equazioni, semplificare frazioni algebriche e studiare disequazioni.

In sintesi — Tecniche di scomposizione

1. Raccoglimento a fattor comune
2. Raccoglimento parziale
3. Differenza di quadrati: $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$
4. Trinomio notevole: $x^2+sx+p = (x+a)(x+b)$ con $a+b=s$ e $ab=p$
5. Somma/differenza di cubi: $A^3\pm B^3 = (A\pm B)(A^2\mp AB+B^2)$
6. Regola di Ruffini (per polinomi di grado $\ge 3$)

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Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Scomposizione in fattori
Metodi: Divisione ruffini · Prodotti notevoli · Raccoglimento comune · Scomposizione polinomi
Competenze: Scomporre

Factorising a polynomial is the inverse operation of the product: given a polynomial, we rewrite it as a product of simpler factors. It is one of the most important skills in all of algebra and we shall need it to solve equations, simplify algebraic fractions and study inequalities.

In brief — Factorising techniques

1. Collecting a common factor
2. Partial collecting
3. Difference of squares: $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$
4. Special trinomial: $x^2+sx+p = (x+a)(x+b)$ with $a+b=s$ and $ab=p$
5. Sum/difference of cubes: $A^3\pm B^3 = (A\pm B)(A^2\mp AB+B^2)$
6. Ruffini’s rule (for polynomials of degree $\ge 3$)

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Topics: Algebraic calculus
Concepts: Factorisation
Methods: Ruffini division · Special products · Common factoring · Polynomial factorisation
Skills: Factorising

Spesso una scomposizione richiede due tecniche in sequenza: prima si raccoglie un fattore comune, poi si riconosce una differenza di quadrati nel fattore rimasto.

Esempio — Raccoglimento e differenza di quadrati

Scomponiamo $9b^2 - a^2 b^2$:

9b^2 - a^2 b^2 &= b^2(9-a^2) && \text{(fattor comune } b^2\text{)}\\ &= b^2(3+a)(3-a) && \text{(differenza di quadrati)}\\ &= \boxed{b^2(3+a)(3-a)} \end{aligned}$$

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Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Differenza di quadrati · Raccoglimento a fattor comune · Scomposizione in fattori
Metodi: Prodotti notevoli · Raccoglimento comune
Competenze: Scomporre

A factorisation often requires two techniques in sequence: first a common factor is collected, then a difference of squares is recognised in the remaining factor.

Example — Collecting and difference of squares

Let us factorise $9b^2 - a^2 b^2$:

9b^2 - a^2 b^2 &= b^2(9-a^2) && \text{(fattor comune } b^2\text{)}\\ &= b^2(3+a)(3-a) && \text{(differenza di quadrati)}\\ &= \boxed{b^2(3+a)(3-a)} \end{aligned}$$

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Topics: Algebraic calculus
Concepts: Difference of squares · Collecting a common factor · Factorisation
Methods: Special products · Common factoring
Skills: Factorising

Una scomposizione non è finita finché ogni fattore è irriducibile: spesso occorre ripetere le tecniche più volte, riconoscendo un prodotto notevole dentro l’altro.

Esempio — Scomposizioni successive

Scomponiamo $a^8 - 2a^4 + 1$:

a^8-2a^4+1 &= (a^4)^2 - 2(a^4)(1) + 1^2 \\ &= (a^4-1)^2 && \text{(quadrato di binomio)}\\ &= \bigl[(a^2+1)(a^2-1)\bigr]^2 \\ &= \boxed{(a^2+1)^2(a+1)^2(a-1)^2} \end{aligned}$$

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Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Differenza di quadrati · Quadrato di binomio · Scomposizione in fattori
Competenze: Scomporre

A factorisation is not finished until every factor is irreducible: often the techniques must be repeated several times, recognising one special product inside another.

Example — Successive factorisations

Let us factorise $a^8 - 2a^4 + 1$:

a^8-2a^4+1 &= (a^4)^2 - 2(a^4)(1) + 1^2 \\ &= (a^4-1)^2 && \text{(quadrato di binomio)}\\ &= \bigl[(a^2+1)(a^2-1)\bigr]^2 \\ &= \boxed{(a^2+1)^2(a+1)^2(a-1)^2} \end{aligned}$$

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Topics: Algebraic calculus
Concepts: Difference of squares · Square of a binomial · Factorisation
Skills: Factorising

Lo stesso polinomio può essere letto come differenza di quadrati o come differenza di cubi. La scelta di partenza cambia il numero di fattori irriducibili che si ottengono.

Esempio — Due modi di scomporre $a^6-b^6$

Il polinomio $a^6-b^6$ si può vedere in due modi diversi.

Metodo 1 — Differenza di quadrati prima. $a^6-b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3+b^3)(a^3-b^3)$ Ciascun fattore si scompone ulteriormente (somma e differenza di cubi):

a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ a^3-b^3 &= (a-b)(a^2+ab+b^2) \end{aligned}$$ Risultato: $a^6-b^6 = \boxed{(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2+ab+b^2)}$ (4 fattori). **Metodo 2 — Differenza di cubi prima.** $$a^6-b^6 = (a^2)^3 - (b^2)^3 = (a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4) = (a+b)(a-b)(a^4+a^2b^2+b^4)$$ (3 fattori).

Attenzione

Il Metodo 1 è più completo: produce 4 fattori irriducibili, mentre il Metodo 2 ne produce solo 3 (il trinomio $a^4+a^2b^2+b^4$ non si scompone facilmente con le tecniche standard). Conviene partire sempre dalla differenza di quadrati.

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Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Differenza di quadrati · Scomposizione in fattori · Somma e differenza di cubi
Competenze: Scomporre

The same polynomial can be read as a difference of squares or as a difference of cubes. The starting choice changes the number of irreducible factors obtained.

Example — Two ways to factorise $a^6-b^6$

The polynomial $a^6-b^6$ can be seen in two different ways.

Method 1 — Difference of squares first. $a^6-b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3+b^3)(a^3-b^3)$ Each factor is factorised further (sum and difference of cubes):

a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ a^3-b^3 &= (a-b)(a^2+ab+b^2) \end{aligned}$$ Result: $a^6-b^6 = \boxed{(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2+ab+b^2)}$ (4 factors). **Method 2 — Difference of cubes first.** $$a^6-b^6 = (a^2)^3 - (b^2)^3 = (a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4) = (a+b)(a-b)(a^4+a^2b^2+b^4)$$ (3 factors).

Warning

Method 1 is more complete: it produces 4 irreducible factors, whereas Method 2 produces only 3 (the trinomial $a^4+a^2b^2+b^4$ does not factorise easily with the standard techniques). It is always best to start from the difference of squares.

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Concepts: Difference of squares · Factorisation · Sum and difference of cubes
Skills: Factorising

Osservazione — Polinomi irriducibili

Non tutti i polinomi si possono scomporre ulteriormente. Ad esempio, la somma di quadrati $x^2+4$, $4x^2+9$, $3x^2+1$ e simili sono polinomi irriducibili in $\mathbb{R}$, anche se non sono di primo grado.

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Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Polinomio irriducibile · Scomposizione in fattori

Observation — Irreducible polynomials

Not every polynomial can be factorised further. For example, the sum of squares $x^2+4$, $4x^2+9$, $3x^2+1$ and the like are irreducible polynomials in $\mathbb{R}$, even though they are not of the first degree.

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Concepts: Irreducible polynomial · Factorisation

Una tecnica particolarmente elegante per scomporre trinomi di secondo grado è il metodo somma e prodotto: si cercano due numeri la cui somma e il cui prodotto coincidano con i coefficienti del trinomio.

Proprietà — Trinomio notevole

Per scomporre $x^2+sx+p$, si cercano due numeri $a$ e $b$ tali che: $a+b = s \quad\text{(somma)}, \qquad a\cdot b = p \quad\text{(prodotto)}.$ Allora: $x^2+sx+p = (x+a)(x+b).$

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Competenze: Scomporre

A particularly elegant technique for factorising second-degree trinomials is the sum and product method: we look for two numbers whose sum and product match the coefficients of the trinomial.

Property — Special trinomial

To factorise $x^2+sx+p$, we look for two numbers $a$ and $b$ such that: $a+b = s \quad\text{(somma)}, \qquad a\cdot b = p \quad\text{(prodotto)}.$ Then: $x^2+sx+p = (x+a)(x+b).$

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Concepts: Factorisation · Special trinomial
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Esempio — Scomporre $x^2-5x+6$

Cerco due numeri con somma $-5$ e prodotto $6$: sono $-3$ e $-2$.

Verifica: $(-3)+(-2) = -5$ ✓, $\;(-3)\cdot(-2)=6$ ✓.

Metodo: si spezza il termine di mezzo e si usa il raccoglimento parziale.

Si spezza $-5x$ in $-3x-2x$, si raccoglie a coppie e si trova il fattore comune $(x-3)$.

Dunque $x^2 - 5x + 6 = \boxed{(x-3)(x-2)}$.

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Concetti: Raccoglimento parziale · Scomposizione in fattori · Trinomio notevole
Competenze: Scomporre

Example — Factorise $x^2-5x+6$

I look for two numbers with sum $-5$ and product $6$: they are $-3$ and $-2$.

Check: $(-3)+(-2) = -5$ ✓, $\;(-3)\cdot(-2)=6$ ✓.

Method: we split the middle term and use partial grouping.

We split $-5x$ into $-3x-2x$, group in pairs and find the common factor $(x-3)$.

Therefore $x^2 - 5x + 6 = \boxed{(x-3)(x-2)}$.

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Quando il coefficiente del termine di secondo grado è diverso da $1$, si cercano due numeri con somma uguale al coefficiente centrale e prodotto uguale al prodotto del primo per l’ultimo coefficiente.

Esempio — Scomporre $3x^2 + 2x - 8$

Si cercano due numeri con somma $= 2$ e prodotto $= 3\cdot(-8) = -24$.

Ricerca sistematica: scomponiamo $24 = 2^3\cdot 3$ e proviamo le coppie di fattori.

Coppia	Somma	✓
$1,\;24$	$25$
$2,\;12$	$14$
$3,\;8$	$11$
$4,\;6$	$10$
$6,\;-4$	$2$	✓

Spezzando il termine centrale e raccogliendo a coppie: $3x^2 + 6x - 4x - 8 = 3x(x+2) - 4(x+2) = \boxed{(x+2)(3x-4)}$

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Competenze: Scomporre

When the coefficient of the second-degree term is other than $1$, we look for two numbers whose sum equals the central coefficient and whose product equals the product of the first by the last coefficient.

Example — Factorise $3x^2 + 2x - 8$

We look for two numbers with sum $= 2$ and product $= 3\cdot(-8) = -24$.

Systematic search: we factorise $24 = 2^3\cdot 3$ and try the pairs of factors.

Pair	Sum	✓
$1,\;24$	$25$
$2,\;12$	$14$
$3,\;8$	$11$
$4,\;6$	$10$
$6,\;-4$	$2$	✓

Splitting the central term and grouping in pairs: $3x^2 + 6x - 4x - 8 = 3x(x+2) - 4(x+2) = \boxed{(x+2)(3x-4)}$

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