Perché piccolo teorema di Fermat

Testo

Storia: leggi l’enunciato del Piccolo Teorema di Fermat in una lettera del $1640$. Perché si chiama “piccolo” (rispetto a quale “grande”)? (Suggerimento: l’Ultimo Teorema di Fermat.)

Soluzione

Pierre de Fermat enunciò il risultato $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$ in una lettera del $1640$ (a Frénicle de Bessy), senza dimostrazione: la prima prova pubblicata è di Eulero, quasi un secolo dopo.

L’aggettivo “piccolo” serve a distinguerlo dall’Ultimo Teorema di Fermat (detto anche “grande teorema”): l’affermazione che l’equazione $x^n + y^n = z^n$ non ha soluzioni intere positive per $n>2$. Quest’ultimo, annotato da Fermat a margine di un libro con la celebre frase “ho una dimostrazione meravigliosa che questo margine è troppo stretto per contenere”, rimase congettura per oltre $350$ anni, fino alla dimostrazione di Andrew Wiles nel $1994$.

Il “piccolo” teorema è dunque un risultato elementare e facilmente dimostrabile; il “grande” è stato uno dei problemi aperti più famosi e difficili della storia della matematica.

Collegamenti

Argomenti: Distribuzioni probabilita
Concetti: Aritmetica modulare
Competenze: Ragionare per casi
Persone: Pierre de Fermat
Tipo di esercizio: Problema verbale