Derivata della funzione integrale con estremo esponenziale

Testo

Data la funzione integrale $F(x)=\int_1^{e^{2x}}\ln t\,dt,$ calcola $F'(x)$, i punti stazionari e gli eventuali flessi di $F$.

Soluzione

Derivata. Applichiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale con la regola della catena. L’estremo superiore è $u(x)=e^{2x}$, con $u'(x)=2e^{2x}$, e l’integranda è $\ln t$. Quindi $F'(x)=\ln\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=\ln\big(e^{2x}\big)\cdot 2e^{2x}=2x\cdot 2e^{2x}=4x\,e^{2x}.$

Punti stazionari. Poiché $e^{2x}>0$ per ogni $x$, $F'(x)=4x\,e^{2x}=0 \iff x=0.$

Natura del punto stazionario. Deriviamo ancora: $F''(x)=4e^{2x}+4x\cdot 2e^{2x}=4e^{2x}(1+2x).$ In $x=0$ si ha $F''(0)=4>0$, dunque $x=0$ è un punto di minimo.

Flessi. I candidati flessi soddisfano $F''(x)=0$: $4e^{2x}(1+2x)=0 \iff 1+2x=0 \iff x=-\tfrac12.$ Attorno a $x=-\tfrac12$ il fattore $(1+2x)$ cambia segno, quindi è un flesso.

$\boxed{F'(x)=4x\,e^{2x},\qquad x_{staz}=0\ (\text{minimo}),\qquad x_{fl}=-\tfrac12}$

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Punto di flesso · Punto stazionario · Teorema fondamentale del calcolo
Competenze: Derivare
Tipo di esercizio: Calcolo derivata