Da Archimede a Riemann

L’idea di calcolare un’area sommando infiniti pezzettini è antichissima: ha attraversato più di duemila anni prima di ricevere, con Bernhard Riemann, la definizione rigorosa che ancora oggi impariamo.

Il metodo di esaustione di Archimede

Nel III secolo a.C. Archimede sapeva già “integrare” senza avere il simbolo $\int$. Con il metodo di esaustione — ereditato da Eudosso — approssimava una figura curvilinea con poligoni sempre più fitti, inscritti e circoscritti, e “chiudeva” l’area tra due successioni che la stringevano da sopra e da sotto. Nella Quadratura della parabola dimostrò così che l’area di un segmento parabolico vale esattamente $\frac{4}{3}$ dell’area del triangolo inscritto, sommando la serie geometrica

$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots = \frac{4}{3}.$

Era un ragionamento per doppia riduzione all’assurdo, corretto ma laborioso: mancava un algoritmo generale (Boyer, Netz).

Gli indivisibili e la nascita del calcolo

Nel Seicento Bonaventura Cavalieri riprese l’idea con il metodo degli indivisibili, immaginando un’area come somma di infinite “corde” e un volume come somma di infinite sezioni (vedi Il principio di Cavalieri). Pochi decenni dopo Isaac Newton e Gottfried Leibniz riconobbero che dietro tangenti, velocità e aree si nascondeva un unico strumento — il calcolo — con regole generali e una notazione efficiente, e il teorema fondamentale legò l’integrale alla derivata. Il calcolo funzionava benissimo, ma poggiava su “infinitesimi” dallo statuto logico ancora incerto.

Il rigore di Riemann

Toccò all’Ottocento dare basi solide. Nel 1854, nella sua dissertazione di abilitazione a Gottinga, Bernhard Riemann definì l’integrale $\int_a^b f(x)\,dx$ come il limite delle somme

$\sum_{i=1}^{N} f(\xi_i)\,\Delta x_i,$

al tendere a zero dell’ampiezza massima degli intervallini, senza più bisogno di parlare di quantità “infinitamente piccole”. Una funzione è integrabile secondo Riemann quando questo limite esiste ed è lo stesso qualunque sia la scelta dei punti $\xi_i$ e della suddivisione. Le somme che vediamo nella definizione dell’integrale — e nella simulazione con i rettangolini — si chiamano infatti somme di Riemann in suo onore: chiudono, con il linguaggio del limite, il cerchio aperto da Archimede venti secoli prima (Boyer, Katz).

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Area sottesa · Integrale definito · Somma di riemann
Persone: Archimede · Gottfried Leibniz · Isaac Newton · Bernhard Riemann