Quattro conteggi combinatori con re, cani, pepite e lucchetto

Testo

• (a) La famiglia reale d’Inghilterra fa sposare ciascuno dei suoi tre figli maschi con tre delle quattro figlie del re di Francia. In quanti modi si possono abbinare i tre maschi alle quattro femmine?
• (b) Il conte Dragula nutre i suoi tre cani con sette ossa uguali (può dare anche più ossa a un cane, o zero ossa a qualcuno), usando tutte e sette le ossa. In quanti modi può distribuirle?
• (c) Il sacchetto di John Piccon contiene dieci pepite diverse; ne regala tre al figlio. In quanti modi si possono scegliere le tre pepite?
• (d) Un lucchetto ha tre rotelle, ciascuna con cinque simboli (vascello, caimano, squalo, polpo, pirata); i simboli possono ripetersi. Quante combinazioni diverse ha il lucchetto?

Soluzione

(a) Si assegnano $3$ figlie distinte ai $3$ maschi distinti: l’ordine conta e non c’è ripetizione, quindi disposizioni semplici di $4$ oggetti a gruppi di $3$: $D_{4,3}=4\cdot 3\cdot 2=24.$

(b) Sette ossa identiche ripartite tra $3$ cani (anche $0$): è un problema di combinazioni con ripetizione (stelle e sbarre), cioè scegliere dove mettere $2$ separatori tra $7$ ossa: $C^{\,r}_{3,7}=\binom{7+3-1}{3-1}=\binom{9}{2}=36.$

(c) Tre pepite distinte, l’ordine non conta: combinazioni semplici $\binom{10}{3}=120.$

(d) Tre rotelle indipendenti, $5$ simboli ciascuna con ripetizione: disposizioni con ripetizione $5^3=125.$

$\boxed{(a)\,24;\quad (b)\,36;\quad (c)\,120;\quad (d)\,125}$

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Combinazioni con ripetizione · Combinazioni semplici · Disposizioni con ripetizione · Disposizioni semplici
Metodi: Coefficiente binomiale
Competenze: Calcolo combinatorio
Tipo di esercizio: Problema combinatorio