Agenti, fucili, lingotti e auto

Testo

Polite Ninja manda un contingente di $17$ agenti segreti a sorvegliare i $13$ hotel (diversi) della capitale, in modo che ogni hotel sia assegnato a un agente, e non più di uno.

• (a) In quanti modi può fare l’assegnazione degli agenti agli hotel?
• (b) Vuole equipaggiare i $17$ agenti con $10$ fucili di precisione identici, non più di uno a testa: in quanti modi può distribuirli?
• (c) Distribuisce $40$ lingotti d’oro identici ai suoi agenti, potendone dare anche più di uno a testa: in quanti modi?
• (d) Appende una lista di $10$ modelli di auto diversi e chiede a ogni agente di segnare il preferito (lo stesso modello può essere scelto da più agenti): in quanti modi può avvenire la scelta?

Soluzione

(a) Si assegna a ciascuno dei $13$ hotel un agente distinto: disposizioni semplici di $17$ oggetti in classe $13$: $D_{17,13}=\frac{17!}{4!}=17\cdot16\cdots5=14\,820\,309\,504\,000.$ (b) I fucili sono identici e al più uno a testa: basta scegliere i $10$ agenti armati fra i $17$ — combinazioni semplici: $\binom{17}{10}=\binom{17}{7}=19\,448.$ (c) Lingotti identici, nessun limite: combinazioni con ripetizione ($40$ oggetti in $17$ “urne”, ovvero stelle e barre): $\binom{40+17-1}{17-1}=\binom{56}{16}=41\,648\,951\,840\,265.$ (d) Ogni agente sceglie indipendentemente $1$ modello fra $10$: disposizioni con ripetizione: $10^{17}=100\,000\,000\,000\,000\,000.$ $\boxed{\ a)\ 14\,820\,309\,504\,000;\quad b)\ 19\,448;\quad c)\ 41\,648\,951\,840\,265;\quad d)\ 10^{17}\ }$

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Combinazioni con ripetizione · Combinazioni semplici · Disposizioni con ripetizione · Disposizioni semplici
Metodi: Coefficiente binomiale
Competenze: Calcolo combinatorio
Tipo di esercizio: Problema combinatorio