L'evoluzione del concetto di funzione

La definizione astratta di funzione — una legge che a ogni elemento del dominio associa una sola immagine — sembra oggi ovvia, ma è il frutto di più di un secolo e mezzo di riflessione. Ripercorrerne le tappe aiuta a capire perché la definizione moderna è formulata proprio così, insistendo sulla corrispondenza e non sulla formula.

Leibniz conia il termine

La parola funzione compare per la prima volta negli scritti di Gottfried Wilhelm Leibniz intorno al 1673. Per Leibniz una “funzione” era una grandezza geometrica che dipende dai punti di una curva: la lunghezza di una tangente, di una normale, di una sottotangente. Il termine nasce dunque legato alla geometria e al calcolo differenziale, non ancora all’idea di una corrispondenza fra numeri. Nel carteggio con Johann Bernoulli il concetto si affina, e proprio Bernoulli, nel 1718, propone di chiamare funzione “una quantità composta in un modo qualsiasi a partire da una variabile e da costanti”.

Euler la definisce

È Leonhard Euler a dare al concetto la sua prima sistemazione. Nell’Introductio in analysin infinitorum (1748) egli scrive che

una funzione di una quantità variabile è un’espressione analitica composta in un modo qualunque a partire da quella quantità variabile e da numeri o quantità costanti.

Qui la funzione è di fatto una formula: un’espressione come $x^2 + 1$, $\sin x$, $\log x$. Euler introduce anche la notazione $f(x)$, che usiamo ancora. Più tardi, studiando il problema della corda vibrante, lo stesso Euler si rese conto che questa definizione era troppo stretta: una corda pizzicata assume un profilo fatto di più tratti, che nessuna singola espressione analitica descrive. Cominciò così a farsi strada un’idea più ampia di funzione come curva “disegnata liberamente”.

Dirichlet la generalizza

Il passo decisivo è di Peter Gustav Lejeune Dirichlet, nel 1837. Studiando la convergenza delle serie di Fourier, egli abbandona del tutto l’idea che una funzione debba essere data da una formula e propone la definizione moderna: $y$ è funzione di $x$ su un intervallo se a ogni valore di $x$ corrisponde un solo valore di $y$, comunque questa corrispondenza sia stabilita, anche a parole o caso per caso. Per mostrare quanto la definizione fosse generale, Dirichlet esibì la celebre funzione

$$D(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \text{ è razionale}, \\ 0 & \text{se } x \text{ è irrazionale}, \end{cases}$$

oggi detta funzione di Dirichlet: una funzione perfettamente definita che nessuna espressione elementare può rappresentare e il cui grafico è impossibile da tracciare. Da qui in poi ciò che conta è la corrispondenza, non la formula — esattamente lo spirito della definizione che usiamo in questo capitolo.

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Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione
Persone: Peter Gustav Lejeune Dirichlet · Leonhard Euler (Eulero) · Gottfried Leibniz