Cantor e l'infinito attuale

La teoria degli insiemi come la usiamo oggi nasce tra il 1874 e il 1897 dal lavoro di Georg Cantor. La sua idea rivoluzionaria fu trattare l’infinito attuale — un insieme infinito considerato come un tutto già completo — invece dell’infinito soltanto potenziale (un processo che non finisce mai) che la matematica aveva usato fin dai tempi di Aristotele.

Confrontare gli infiniti

Cantor propose un criterio semplicissimo per dire quando due insiemi hanno “la stessa quantità” di elementi: esiste una corrispondenza biunivoca tra di essi. Con questo metro scoprì fatti sorprendenti. I numeri naturali $\mathbb{N}$, gli interi $\mathbb{Z}$ e persino i razionali $\mathbb{Q}$ hanno tutti la stessa cardinalità: si dicono numerabili. Ma i numeri reali $\mathbb{R}$ non lo sono. Con il celebre argomento diagonale (1891) Cantor dimostrò che nessuna lista $x_1, x_2, x_3, \ldots$ può contenere tutti i reali dell’intervallo $[0,1]$: costruendo un numero che differisce dall’$n$-esimo nella $n$-esima cifra decimale, si ottiene sempre un reale mancante dalla lista. Esistono dunque infiniti di grandezza diversa, che Cantor indicò con i numeri aleph: $\aleph_0$ per il numerabile, una cardinalità maggiore per il continuo (Boyer; Dunham).

Dedekind e la definizione di insieme infinito

Amico e corrispondente di Cantor, Richard Dedekind diede nel 1888 una definizione elegante e paradossale: un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria. Ad esempio $n \mapsto 2n$ mette $\mathbb{N}$ in biiezione con i soli numeri pari, che sono “la metà” ma altrettanto numerosi — proprio la stranezza che Galileo aveva già notato. Dedekind usò inoltre le sue sezioni per costruire rigorosamente i numeri reali a partire dai razionali (Katz; Stillwell).

I paradossi e la crisi dei fondamenti

Questa libertà ebbe un prezzo. Nel 1901 Bertrand Russell scoprì un paradosso che scuote la teoria “ingenua”: si consideri l’insieme $R$ di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi. Se $R$ appartiene a se stesso, allora per definizione non deve appartenervi; se non vi appartiene, allora deve appartenervi. Una contraddizione insanabile, resa popolare dall’immagine del barbiere che rade tutti e soli quelli che non si radono da sé. La risposta della matematica non fu abbandonare gli insiemi, ma fondarli su assiomi prudenti (la teoria di Zermelo–Fraenkel). David Hilbert difese l’eredità di Cantor con parole rimaste famose: «Nessuno potrà scacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi» (Boyer; Dunham).

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Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Cardinalita · Infinito · Insieme
Persone: Bertrand Russell · Georg Cantor · Richard Dedekind