Monotonia

La monotonia descrive se una funzione “sale” o “scende” in modo coerente al crescere di $x$.

Definizione — Funzione crescente, decrescente, monotona

Una funzione $f$ si dice, su un sottoinsieme $I$ del suo dominio:

• crescente se $x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$ (cioè al crescere di $x$ cresce $y$);
• decrescente se $x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$;
• monotona se è crescente oppure decrescente (strettamente).

Se l’implicazione vale con $\le$ e $\ge$ invece che con $<$ e $>$, si parla di funzione non-decrescente o non-crescente.

Proprietà — Monotonia stretta e iniettività

Se $f$ è strettamente monotona su tutto il suo dominio $A$, allora è iniettiva. Il viceversa non è vero: una funzione iniettiva può oscillare. Ad esempio $f(x) = -x$ su $x<0$ e $f(x)=x$ su $x\ge 0$ è iniettiva ma non monotona su tutto $\mathbb{R}$.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione iniettiva · Monotonia